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Wechselspannung-Wechselstrom

Wechselspannung, Wechselstrom, Effektivwert, Spitzenspannung, Amplitude, 

Eine Spannung, die ihre Polarität periodisch ändert ist eine Wechselspannung. In Deutschland und den meisten europäischen Staaten beträgt die Wechselspannung 230 V (Effektivwert).  Die Netzfrequenz beträgt 50 Hz.  Das bedeutet, das 50 Perioden in einer Sekunde durchlaufen werden.  Die nebenstehende Abbildung zeigt also  den zeitlichen Ausschnitt von 1/50 s bzw. 0,02 s.

01 Verlauf der Wechselspannung in Zeitlupe

Wechselspannungen werden  häufig am Formelzeichen mit einem Index gekennzeichnet U~, analog dazu die Gleichspannung U

An einigen Geräten findet ihr die Aufschrift AC oder DC.  AC (engl. alternating current)  steht für Wechselspannung,  DC (engl. direct current) steht für Gleichspannung.

Effektivwert der Spannung

Die Angabe 230 V bezeichnet dabei den Effektivwert der Spannung Ueff.  Die Spitzenspannung Û ist um den Faktor √2  größer.  Sie beträgt ca. 324 V

Der Effektivwert Ueff der Wechselspannung entspricht dem Wert der Gleichspannung U , der eine Lampe gleich hell leuchten lässt.

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02 Effektivwert der Wechselspannung

Wie in der animierten Grafik ♦01 oben zu sehen, bewegen sich die Ladungsträger bei der Wechselspannung nicht von einem Pol der Quelle zu anderen, sondern sie schwingen in der Frequenz der Netzspannung zwischen den Polen. Die Pole einer Wechselspannungsquelle werden mit „Phase“ und „Null oder Masse“  bezeichnet.

Erzeugung einer Wechselspannung

Herleitung zur Berechnung der Effektivspannung

Unter dem Effektivwert Ueff einer Wechselspannung versteht man diejenige zeitlich konstante Spannung, die am gleichen Widerstand R, in der gleichen Zeit t, die gleiche Energie wie die Gleichspannung liefert.

…, oder anschaulich: Der Effektivwert Ueff der Wechselspannung entspricht dem Wert der Gleichspannung U– , der eine Lampe gleich hell leuchten lässt.

Wie stark die Lampe leuchtet, ist von der Leistung P abhängig.

P = U · I

Berechnung des Effektivwerts einer Wechselspannung

Sinusförmige Wechselspannung

Spannung U und Strom I verlaufen periodisch.

03 Graphen von Spannung und Strom

Bild ►03 zeigt die Graphen von Strom und Spannung.

Die einzelnen Graphen können in der GeoGebra Animation betrachtet werden.

Für den zeitabhängigen Verlauf von Spannung und Strom gilt:

{\large\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}U(t)=\hat{U}\cdot \cos (\omega t)\\\\I(t)\,\,\,\,=\,\,\,\hat{I}\cdot \cos (\omega t)\end{array} \right\}\,P(t)=\hat{U}\cdot \cos (\omega t)\cdot \hat{I}\cdot \cos (\omega t)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P(t)=\hat{U}\cdot \hat{I}\cdot {{\left[ \cos (\omega t) \right]}^{2}}\end{array} }

04 zeitlicher Verlauf von Spannung, Strom und Leistung

Da Spannung und Strom in gleicher Phase verlaufen, haben sie stets das gleiche Vorzeichen. Damit kann die Leistung keine negativen Werte annehmen. Die Leistung nimmt ihre Extremwerte an den Extremstellen und Nullstellen von Spannung und Strom an. Daher schwingt zeitabhängige Funktion der Leistung in doppelter Frequenz.  

Die effektive Leistung Peff liegt bei der Hälfte der maximalen Leistung. Das wird bei der Betrachtung der Flächen deutlich. {\large\hat{P}=\hat{U}\cdot \hat{I}}

05 Mittelwert der Leistung

Damit ergibt sich für Peff

{\large{{P}_{eff}}=\frac{1}{2}\cdot \hat{U}\cdot \hat{I} }

Die Fläche unter dem Graphen von P kann in der GeoGebra Animation betrachtet werden.

Den Faktor ½ können wir konstruktiv zerlegen.

{\large \frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}

{\large {{P}_{eff}}=\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{U}}_{{{U}_{eff}}}\cdot \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{I}}_{{{I}_{eff}}} }

Daraus folgt für Ueff

{\huge {{U}_{eff}}=\frac{{\hat{U}}}{\sqrt{2}}  }

Beliebige Wechselspannung

Die oben angegebenen Gleichungen für die Effektivspannung gelten nur für sinusförmige Spannungen. Allgemein gilt:

{\huge \displaystyle {{P}_{eff}}=\frac{1}{T}\cdot \int\limits_{0}^{T}{P(t)\,\,dt}}

{\large\displaystyle \begin{array}{l}Wie\,\,k\ddot{o}nnen\,\,wir\,\,P\,\,ersetzen?\\\\\left. \begin{array}{l}P=U\cdot I\\I\,\,\,\,=\frac{U}{R}\end{array} \right\}P=U\cdot \frac{U}{R}=\frac{{{U}^{2}}}{R}\\\\Einsetzen\,\,in\,\,{{P}_{eff}}\\\\\frac{U_{eff}^{2}}{R}=\frac{1}{T}\cdot \int\limits_{0}^{T}{\frac{{{U}^{2}}}{R}\,\,dt}\end{array}      }

Da R eine Konstante ist, können wir es vor das Integral ziehen und mit dem R der linken Seite der Gleichung kürzen.

 {\large\displaystyle \begin{array}{l}\frac{U_{eff}^{2}}{R}=\frac{1}{T}\cdot \frac{1}{R}\int\limits_{0}^{T}{{{U}^{2}}\,\,dt}\\\\U_{eff}^{2}=\frac{1}{T}\cdot \int\limits_{0}^{T}{{{U}^{2}}\,\,dt}\\\\U_{eff}^{{}}=\sqrt{\frac{1}{T}\cdot \int\limits_{0}^{T}{{{U}^{2}}\,\,dt}}\end{array} }

Zurück zur sinusförmigen Wechselspannung

Wenn wir für die Spannung U jetzt die zeitabhängige Form { U=\hat{U}\cdot \sin \left( \omega t \right)} einsetzen, dann erhalten wir:

{\large\displaystyle {{U}_{eff}}=\sqrt{\frac{1}{T}\cdot \int\limits_{0}^{T}{\hat{U}\cdot {{\sin }^{2}}(\omega t)\,\,dt}} }

06 Screenshot TR

Die Lösung des Taschenrechners zeigt, den Effektivwert in Abhängigkeit von Û.

{\large {{U}_{eff}}=\frac{{\hat{U}}}{\sqrt{2}}}

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